Точка прошла половину пути со скоростью v0. Оставшуюся часть пути она половину времени двигалась со скоростью v1, а последний участок — со скоростью v2. Найти среднюю за все время движения скорость точки.
v0 - скорость на первой половине пути
v1 - скорость на первой части второй половины
v2 - скорость на второй части второй половины
vср = ?
Пусть весь путь равен S.
Тогда первая половина пути: S/2
Вторая половина пути также: S/2
Найдем время движения на первом участке:
\(t_0 = \frac{S/2}{v_0} = \frac{S}{2v_0}\)
Пусть время движения на второй половине пути равно t.
Половину этого времени точка двигалась со скоростью v₁, другую половину - со скоростью v₂.
Пройденный путь на второй половине:
\(\frac{S}{2} = v_1 \cdot \frac{t}{2} + v_2 \cdot \frac{t}{2}\)
Упростим уравнение:
\(\frac{S}{2} = \frac{t}{2}(v_1 + v_2)\)
\(S = t(v_1 + v_2)\)
\(t = \frac{S}{v_1 + v_2}\)
Общее время движения:
\(t_{общ} = t_0 + t = \frac{S}{2v_0} + \frac{S}{v_1 + v_2}\)
Средняя скорость равна отношению всего пути ко всему времени:
\(v_{ср} = \frac{S}{t_{общ}} = \frac{S}{\frac{S}{2v_0} + \frac{S}{v_1 + v_2}}\)
Сокращаем S в числителе и знаменателе:
\(v_{ср} = \frac{1}{\frac{1}{2v_0} + \frac{1}{v_1 + v_2}}\)
Приведем к общему знаменателю:
\(v_{ср} = \frac{1}{\frac{v_1 + v_2 + 2v_0}{2v_0(v_1 + v_2)}} = \frac{2v_0(v_1 + v_2)}{v_1 + v_2 + 2v_0}\)
Ответ: \(v_{ср} = \frac{2v_0(v_1 + v_2)}{2v_0 + v_1 + v_2}\)