Модели корабля массой 1 кг сообщили скорость 2 м/с. При движении модели на нее действует сила сопротивления пропорциональная скорости. Коэффициент пропорциональности 0,760 кг/с. Найти путь, пройденный моделью за время, в течение которого в два раза уменьшилась скорость.
\(m=1 кг\)
\(V_{0}=2 м/с\)
\(k=2\)
\(k=\frac{V_{0}}{V_{1}}\)
\(r=0.76 кг/с\)
Найти:
\(S\)
На кораблик действует сила сопротивления:
\(F=-r\cdot V=m\cdot \frac{d}{dt}=m\cdot \frac{dV}{V}.\)
Интегрируем обе части уравнения
\(-r\cdot \int_{0}^{t}1dt=-r\cdot t=m\cdot \int_{V_{0}}^{V_{1}}\frac{1}{V}dV=m\cdot ln\left ( \frac{V_{1}}{V_{0}} \right ).\)
Отсюда \(V(t)=V_{0}\cdot exp\left ( \frac{-r\cdot t}{m} \right )\) -
зависимость скорости кораблика от времени.
\(S=\int_{0}^{t}Vdt=V_{0}\cdot \int_{0}^{t}exp\left ( \frac{-r\cdot t}{m} \right )dt=\)
\(=\frac{-m\cdot V_{0}}{r}\cdot \left ( exp\left ( \frac{-r\cdot t}{m}\right )-1 \right )=\frac{m\cdot V_{0}}{r}\cdot \left ( 1-exp\left ( \frac{-r\cdot t}{m} \right ) \right )\)
\(S=\frac{m\cdot V_{0}}{r}\cdot \left ( 1-\frac{1}{k} \right )\)
Ответ: \(S=1.316 м\)
