Модели корабля массой 1 кг сообщили скорость 4 м/с. При движении модели на нее действует сила сопротивления пропорциональная скорости. Коэффициент пропорциональности 0,769 кг/с. Найти путь, пройденный моделью за время, в течение которого в два раза уменьшилась скорость.
\(m=1 кг;\)
\(V_{0}=4 м/с;\)
\(k=2;\)
\(k=\frac{V_{0}}{V_{1}};\)
\(r=0.769 кг/с.\)
Найти : S-?
На кораблик действует сила сопротивления:
\(-r\cdot dt=m\cdot \frac{dV}{V}\).
Интегрируем обе части уравнения:
\(-r\int_{0}^{t}1dt=-r\cdot t=\)
\(=m\cdot \int_{V_{0}}^{V_{1}}\frac{1}{V}dV=\)
\(=m\cdot ln(\frac{V_{1}}{V_{0}})\).
Отсюда
\(V(t)=V_{0}\cdot exp(\frac{-r\cdot t}{m})\) - Зависимость скорости кораблика от времени.
\(S=\int_{0}^{t}Vdt=V_{0}\cdot \int_{0}^{t}exp(\frac{-r\cdot t}{m})dt=\)
\(=\frac{-m\cdot V_{0}}{r}\cdot (exp(\frac{-r\cdot t}{m})-1)=\)
\(=\frac{m\cdot V_{0}}{r}\cdot (1-exp(\frac{-r\cdot t}{m}))\);
\(S=\frac{m\cdot V_{0}}{r}\cdot (1-\frac{1}{k}) \);
Подставив числовые значения из дано, получим ответ:
\(S=2.601 м.\)
