Определить максимальную энергию (в эВ), которой могут обладать свободные электроны в металле при абсолютном нуле. Принять, что на каждый атом металла приходится по одному электрону. Массовое число металла равно 57, а плотность металла равна 8843 кг/куб.м.
\(A=57;\)
\(\rho =8843\frac{кг}{м^{3}}.\)
Найти:\(E_{max}-?\)
Массовое число металла показывает во сколько раз масса его атома больше атомной единицы массы, приблизительно равной массе протона:
\(m_{0}=A\cdot m_{\rho };\)
Масса некоторой части металла, в которой находятся N электронов (а значит и атомов - по условию) равна:
\(m=N\cdot m_{0};\)
а их концентрация:
\(n=\frac{N}{V}=\frac{N}{m}\cdot \rho =\frac{N\cdot \rho }{N\cdot A\cdot m_{\rho }}=\frac{\rho }{A\cdot m_{\rho }};\)
Максимальной энергией электроны обладают на уровне Ферми, определяемом формулой:
\(E_{F}=\frac{h^{2}}{2\cdot m_{e}}\cdot (\frac{3\cdot n}{8\cdot \pi })^{\frac{2}{3}};\)
Тогда:
\(E_{F}=\frac{h^{2}}{2\cdot m_{e}}\cdot (\frac{3\cdot \rho }{8\cdot \pi \cdot A\cdot m_{\rho }})^{\frac{2}{3}};\)
подставив числовые значения, получим ответ:
\(E_{max}=7.475 эВ.\)