Твердое тело вращается с угловой скоростью ω = ati + bt2j, где a = 0,50 рад/с2, b = 0,060 рад/с3, i и j — орты осей х и у. Найти: а) модули угловой скорости и углового ускорения в момент t = 10,0 с; б) угол между векторами угловой скорости и углового ускорения в этот момент.
ω = ati + bt²j
a = 0,50 рад/с²
b = 0,060 рад/с³
t = 10,0 с
ω = ? (модуль)
β = ? (модуль углового ускорения)
λ = ? (угол между ω и β)
Вектор угловой скорости: \(\vec{\omega} = at\,\vec{i} + bt^2\,\vec{j}\)
Модуль угловой скорости:
\(\omega = |\vec{\omega}| = \sqrt{(at)^2 + (bt^2)^2} = \sqrt{a^2t^2 + b^2t^4}\)
Подставляем числовые значения при t = 10,0 с:
\(\omega = \sqrt{(0,50)^2 \cdot (10,0)^2 + (0,060)^2 \cdot (10,0)^4} =\) \( \sqrt{0,25 \cdot 100 + 0,0036 \cdot 10000}\)
\(\omega = \sqrt{25 + 36} = \sqrt{61} \approx 7,81\) рад/с
Вектор углового ускорения - производная от угловой скорости:
\(\vec{\beta} = \frac{d\vec{\omega}}{dt} = a\,\vec{i} + 2bt\,\vec{j}\)
Модуль углового ускорения:
\(\beta = |\vec{\beta}| = \sqrt{a^2 + (2bt)^2} = \sqrt{a^2 + 4b^2t^2}\)
Подставляем числовые значения при t = 10,0 с:
\(\beta = \sqrt{(0,50)^2 + 4 \cdot (0,060)^2 \cdot (10,0)^2} =\) \( \sqrt{0,25 + 4 \cdot 0,0036 \cdot 100}\)
\(\beta = \sqrt{0,25 + 1,44} = \sqrt{1,69} = 1,30\) рад/с²
Угол между векторами ω и β находим через скалярное произведение:
\(\vec{\omega} \cdot \vec{\beta} = (at)(a) + (bt^2)(2bt) = a^2t + 2b^2t^3\)
С другой стороны:
\(\vec{\omega} \cdot \vec{\beta} = \omega \beta \cos\lambda\)
Отсюда:
\(\cos\lambda = \frac{\vec{\omega} \cdot \vec{\beta}}{\omega \beta} = \frac{a^2t + 2b^2t^3}{\omega \beta}\)
Подставляем числовые значения:
\(\vec{\omega} \cdot \vec{\beta} = (0,50)^2 \cdot 10,0 + 2 \cdot (0,060)^2 \cdot (10,0)^3 = \)
\(= 0,25 \cdot 10 + 2 \cdot 0,0036 \cdot 1000\)
\(\vec{\omega} \cdot \vec{\beta} = 2,5 + 7,2 = 9,7\)
\(\cos\lambda = \frac{9,7}{7,81 \cdot 1,30} = \frac{9,7}{10,153} \approx 0,955\)
\(\lambda = \arccos(0,955) \approx 17^\circ\)
Ответ: ω ≈ 7,8 рад/с; β ≈ 1,3 рад/с²; λ ≈ 17°
